Une salle de théâtre

Problème adapté de la banque nationale de sujets : https://www.education.gouv.fr/reussir-au-lycee/bns

On a représenté ci-dessous en perspective parallèle les trois murs `\text{AUVD}`, `\text{DVWC}`, `\text{CWZB}` et la scène `\text{ABCD}` d’une salle de théâtre.
Le segment `\text{[AB]}` représente le bord de la scène et mesure \(5\) m. La scène est carrée.
La hauteur `\text{[AU]}` mesure \(4\) m de la scène au plafond. La scène est pavée par des carrés de \(1\) m de côté. La hauteur de l’entrée principale \(\text{PTGF}\) mesure \(2{,}5\) m.

On souhaite représenter cette salle de théâtre en perspective centrale.
Les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\)... seront représentés par les points `\text{a}`, \(\text{b}\), \(\text{c}\)...
Les points \(\text{a}\), \(\text{b}\), \(\text{c}\), \(\text{d}\), \(\text{m}\) et \(\text{u}\) ont été placés dans le fichier de géométrie dynamique suivant.
Le plan de la scène est horizontal. La droite \(\text{(ab)}\) est parallèle à la ligne d’horizon et les points \(\text{a}\), \(\text{b}\) et \(\text{u}\) sont dans un plan frontal.

1. a. Justifier que les droites \(\text{(ad)}\) et \(\text{(bc)}\) sont sécantes.
    b. Les droites \(\text{(bd)}\), \(\text{(mn)}\), \(\text{(op)}\), \(\text{(qr)}\) et \(\text{(st)}\) sont concourantes en un point \(\text{j}\). Sur quelle droite particulière le point `\text{j}` se trouve-t-il ?
2. Placer le point de fuite principal \(\text{x}\) et tracer la ligne d’horizon.
3. Terminer la représentation en perspective centrale de la salle de théâtre en représentant :
    a. la scène et les trois murs
    b. le pavage de la scène
    c. l’entrée principale